Question

(本题12分)

如图，AD//BC，点E、F在BC上，∠1=∠2，AF⊥DE，垂足为点O.

(1)求证:四边形AEFD是菱形；

(2)若BE=EF=FC，求∠BAD+∠ADC的度数；

(3)若BE=EF=FC，设AB = m，CD = n，求四边形ABCD的面积.

Answer

（1）( 4分）证明:

（方法一）∵AF⊥DE  

∴∠1+∠3=90° 即：∠3=90°-∠1

∴∠2+∠4=90° 即：∠4=90°-∠2

又∵∠1=∠2      ∴∠3=∠4   ∴AE = EF

∵AD//BC      ∴∠2=∠5 

∵∠1=∠2     ∴∠1=∠5

∴AE = AD   ∴EF = AD  2分

∵AD//EF

∴四边形AEFD是平行四边形  1分

又∵AE = AD  

∴四边形AEFD是菱形  1分

（方法二）∵AD//BC    ∴∠2=∠5

∵∠1=∠2   ∴∠1=∠5

∵AF⊥DE   ∴∠AOE=∠AOD=90°

在△AEO和△ADO中   ∴△AEO△ADO  ∴EO=OD

在△AEO和△FEO中 ∴△AEO△FEO  ∴AO=FO   2分

∴AF与ED互相平分  1分

∴四边形AEFD是平行四边形

又∵AF⊥DE

∴四边形AEFD是菱形  1分

(2)( 5分）

∵菱形AEFD    ∴AD=EF  

∵BE=EF      ∴AD=BE

又∵AD//BC   ∴四边形ABED是平行四边形  1分

∴AB//DE   ∴∠BAF=∠EOF

同理可知   四边形AFCD是平行四边形

∴AF//DC   ∴∠EDC=∠EOF

又∵AF⊥ED   ∴∠EOF=∠AOD=90°

∴∠BAF=∠EDC=∠EOF=90° 2分

∴∠5 +∠6=90°        1分

∴∠BAD+∠ADC=∠BAF+∠6 +∠5+∠EDC =270° 1分

（3）( 3分）由（2）知∠BAF =90°平行四边形AFCD    ∴AF=CD=n

又∵AB=m         1分

由（2）知 平行四边形ABED  ∴DE=AB=m

由（1）知OD=    1分

   1分

【解析】略