Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+8（a≠0）的图像与x轴交于点A（-2，0），B，

与y轴交于点C，tan∠ABC=2．

（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？

Answer

【解析】
（1）依题意，可知 C(0,8),则B(4,0)

将A(-2,0)，B(4，0)代入 y=ax2+bx+8，

 解得

配方得y，顶点D（1,9）.    ---------3分

（2）假设满足条件的点存在，依题意设

由求得直线的解析式为，

它与轴的夹角为．

过点P作PN⊥y轴于点N.

依题意知，∠NPO=30°或∠NPO=60°.

∵PN=2，∴ON= 或2．

∴存在满足条件的点，的坐标为（2， ）和(2，2)．-----------6分

（3）由上求得．

当抛物线向上平移时，可设解析式为．

当时，．

当时，．

或．

由题意可得m的范围为．

∴ 抛物线最多可向上平移72个单位．     -----------8分

【解析】略