Question

（本小题满分7分）已知：等边三角形ABC

（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；

（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD

        

Answer

猜想：AP=BP+PC                 ------------------------------1分

（1）证明：延长BP至E，使PE=PC，联结CE

∵∠BPC=120°

∴∠CPE=60°，又PE=PC

∴△CPE为等边三角形

∴CP=PE=CE，∠PCE=60°

∵△ABC为等边三角形

∴AC=BC，∠BCA=60°

∴∠ACB=∠PCE，

∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP

即：∠ACP=∠BCE

∴△ACP≌△BCE

∴AP=BE      ------------------------------------------------------2分

∵BE=BP+PE

∴AP=BP+PC  ----------------------------------------------------- 3分

（2）方法一：

在AD外侧作等边△AB′D     --------------------------- 4分

则点P在三角形ADB′外

∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD

在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′， 

∴PA+PD+PC＞CB′      ------------------------------------ 5分

∵△AB′D、△ABC是等边三角形

∴AC=AB，AB′=AD，

∠BAC=∠DA B′=60°

∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD

即：∠BAD=∠CAB′

∴△AB′C≌△ADB  

∴C B′=BD          ------------------------------------------------ 6分

∴PA+PD+PC＞BD    -------------------------------------------------- 7分

方法二：延长DP到M使PM=PA，联结AM、BM

∵∠APD=120°，

∴△APM是等边三角形， -----------------------------4分

∴AM=AP，∠PAM=60°

∴DM=PD+PA          ------------------------------5分

∵△ABC是等边三角形

∴AB=AC，∠BAC=60°

∴△AMB≌△APC

∴BM=PC          -----------------------------------------------6分

在△BDM中，有DM + BM＞BD， 

∴PA+PD+PC＞BD      ----------------------------------------------7分

【解析】略