Question

在平面直角坐标系xOy中,反比例函数的图象与抛物线 交于点A(3, n).

（1）求n的值及抛物线的解析式；

（2） 过点A作直线BC，交x轴于点B，交反比例函数（）的图象于点C，且AC=2AB，求B、C两点的坐标；   

（3）在（2）的条件下，若点P是抛物线对称轴上的一点，且点P到x轴和直线BC的距离相等，求点P的坐标.

Answer

（1）

（2）B(4，0)

（3）点P的坐标为或

【解析】【解析】
（1）∵点A(3, n)在反比例函数的图象上，

.……………………………………………………………………1分

∴A(，).

∵点A(，)在抛物线上，

∴ . 

∴抛物线的解析式为．     …………………………2分

（2）分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，

∴AD∥CE.

∴△ABD∽△CBE.

∴ ．

∵AC＝2AB，∴.

由题意，得AD＝,

∴.

∴CE＝4．……………………3分

即点C的纵坐标为4.

当y＝4时，x＝1，

∴C(1，4) ………………… 4分

∵ DE＝2,

∴

∴BD＝1．

∴B(4，0).   ……………………………………………………………5分

（3）∵抛物线的对称轴是，

∴P在直线CE 上.

过点P作PF⊥BC于F.

由题意，得PF＝PE.

∵∠PCF =∠BCE, ∠CFP =∠CEB =90°,

 ∴△PCF ∽△BCE.

∴ ．

由题意，得BE=3，BC=5.

①当点P在第一象限内时，设P(1，a) (a＞0).

则有  解得

∴点P的坐标为. ……………………………………………6分

②当点P在第四象限内时，设P(1， a) (a＜0)

则有  解得

∴点P的坐标为.……………………………………………7分

∴点P的坐标为或.