Question

如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.

(1)尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；

(2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；

(3)若过A，D，C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）略

（2）证明略

（3）理由略

【解析】【解析】
（1）作出圆心O，  …………………………………………………1分

以点O为圆心，OA长为半径作圆.…………………………………………1分

（2）证明：∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°.

∴AD是⊙O的直径……………1分

连结OC，∵∠A=∠B=30°,

∴∠ACB=120°,又∵OA=OC,

∴∠ACO=∠A =30°,…………1分

∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°. 

∴BC⊥OC,

∴BC是⊙O的切线. ……………………………………………1分

（3）存在. ……………………………………………………………………………1分

∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,

∴∠BCD=∠B,  即DB=DC.

又∵在Rt△ACD中，DC=AD, ∴BD= .

解法一：①过点D作DP1// OC，则△P1D B∽△COB, ，

       ∵BO=BD+OD=,

∴P1D=×OC=× =.        ……………………………1分

        ②过点D作DP2⊥AB,则△BDP2∽△BCO, ∴，

        ∵BC＝

∴.………………………………………1分

解法二：①当△B P1D∽△BCO时，∠DP1B=∠OCB=90°.

在Rt△B P1D中，

DP1=.                            ………………1分

②当△B D P2∽△BCO时，∠P2DB=∠OCB=90°.

在Rt△B P2D中，

DP2=.                                 ……………1分