Question

如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；

（2）设直线交轴于点．在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）过点作轴的垂线，交直线于点，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

Answer

（1）

（2）

（3）向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长

【解析】（1）设抛物线解析式为，把代入得．

，

顶点  （4分）

（2）假设满足条件的点存在，依题意设，

由求得直线的解析式为，

它与轴的夹角为，设的中垂线交于，则．

则，点到的距离为．

又． （2分）

．

平方并整理得：

．

存在满足条件的点，的坐标为．    （2分）

（3）由上求得．

①若抛物线向上平移，可设解析式为．

当时，．

当时，．

或．

．  （2分）

②若抛物线向下移，可设解析式为．

由，

有．

，．

向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长． （2分）