Question

（本题满分12分）

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的右交点为点A，与y

轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连结AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位:秒）

（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；

（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形?

（3）请说明当0＜t＜4.5时，△PQF的面积总为定值；

（4）当0≤t≤4.5是否存在△PQF为等腰三角形？当t为何值时，△PQF为等腰三角形?（直接写出结果）

Answer

【解析】
（1）由y=（x2―8x―180），令y=0，

得x2―8x―180=0，（x―18）（x＋10）=0，∴x＝18，x＝―10，

∴A（18,0）……………………………………………………………………………………1分

在y=x2―x―10，令x＝0，y=―10，即B（0，―10）．……………………………2分

∵BC∥OA，故点C的纵坐标为―10．

由―10 y=x2―x―10，得x＝8或x＝0 ．

即C（8，―10）且易求出顶点……………………………………………………3分

于是A（18，0），B（0，―10），C（8，―10）．顶点坐标为……………4分

（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可，

而PA＝18―QC＝t，故18―4t＝t，得………………………………………6分

（3）设点P运动t秒，则OP＝4t，QC＝t，0＜t＜4.5．说明P在线段OA上，且不与

点O，A重合．

∵QC∥OP，∴△QDC∽△PDO，∴

同理QC∥AF，故即

∴AF＝4t＝OP．∴PF＝PA＋AF＝PA＋OP＝18，………………………………………7分

∵点Q到直线PF的距离d＝10，

∴S△PQF＝••PF•d＝×18×10＝90．

所以△PQF的面积总为定值90．…………………………………………………………9分

（4）故当不存在等腰三角形△PQF．……………………………………10分

当 时，为等腰三角形．…………………………………………12分

【解析】略