Question

（12分）如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B

重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形

相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，

我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．

（1）若图1中，∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；

（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明．）

②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．

（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B＝90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE与BE的数量关系并说明理由．

Answer

【解析】
（1）理由：∵∠A＝50°，

∴∠ADE＋∠DEA＝130°．

∵∠DEC＝50°，

∴∠BEC＋∠DEA＝130°．

∴∠ADE＝∠BEC．  …………………………………………………………1分

∵∠A＝∠B，

∴△ADE∽△BEC．  …………………………………………………………2分

∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．  ……………………………3分

（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．（若不用圆规画图，则必须在图上标注直角符号或对直角另有说明．）………………………5分

②对于任意的一个矩形，不一定存在强相似点，如正方形．(答案不惟一，若学生画图说明也可．) ………………………………………………………6分

（3）第一种情况：

∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，∠ADE＝∠BEC＝∠EDC，

即△ADE∽△BEC∽△EDC．

方法一：

如图1，延长DE，交CB的延长线于点F， ………………………………7分

说明DE＝EF， ………………………………………………………………8分

说明AE＝BE． ………………………………………………………………9分

方法二：

如图2，过点E作EF⊥DC，垂足为F． ………………………………7分

因为∠ADE＝∠CDE，∠BCE＝∠DCE，

所以AE＝EF，EF＝BE．

所以AE＝BE． ………………………………………………………………9分

方法三：

由△ADE∽△EDC可得＝，即AE＝．   …………………7分

同理，由△BEC∽△EDC可得＝，即BE＝， ……………8分

所以AE＝BE． ………………………………………………………………9分

第二种情况：

如图3，∠A＝∠B＝∠EDC＝90°，∠ADE＝∠BCE＝∠DCE，

即△ADE∽△BCE∽△DCE．

所以∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝60°，……………………………………10分

说明AE＝DE，BE＝CE，DE＝CE，

（或说明BE＝DE，AE＝DE，）

所以AE＝BE．

综上，AE＝BE或AE＝BE．………………………………………………12分

【解析】略