Question

（8分）在平面上有且只有4个点，这4个点中有一个独特的性质：连结每两点可得到6条线段，这6条线段有且只有两种长度．我们把这四个点称作准等距点．例如正方形ABCD的四个顶点(如图1)，有AB=BC=CD=DA，AC=BD．其实满足这样性质的图形有很多，如图2中A、B、C、O四个点，满足AB=BC=CA，OA=OB=OC；如图3中A、B、C、O四个点，满足OA=OB=OC=BC，AB=AC．

（1）如图，若等腰梯形ABCD的四个顶点是准等距点，且AD∥BC．

①写出相等的线段（不再添加字母）；

②求∠BCD的度数．

（2）请再画出一个四边形，使它的四个顶点为准等距点，并写出相等的线段．

Answer

【解析】
（1）①AB=DC=AD， AC=BD=BC．……………………………………2分

②∵AC=BD，AB=DC，BC=BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，……3分

∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，

∵DC=AD，∠DAC=∠ACD，∴∠ACD=∠ACB，………………………………4分

∵BC=BD，∠BDC=∠BCD=2∠ACB，……………………………………………5分

设∠ACB=x°，则∠BDC=∠BCD=2 x°，∠DBC= x°，

∴2 x+2 x+ x=180，解得x=36，

∴∠BCD=72°．…………………………………………………………………6分

（2）AB=BD=AD =AC，BC = CD．  或     AB= BC= CD=BD=AD，AC，．……8分

【解析】略