Question

．(9分)如图，AB为⊙O内垂直于直径的弦，AB、CD相于点H，△AED与△AHD

关于直线AD成轴对称．

（1）试说明：AE为⊙O的切线；

（2）延长AE与CD交于点P，已知PA＝2，PD＝1，求⊙O的半径和DE的长．

Answer

（1）连结OA

由△AED与△AHD关于直线AD成轴对称可知∠ADO＝∠ADE   ………1分

因为AB⊥CD，所以∠AED＝∠AHD＝90°．

又因为OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA    …………………2分

所以∠OAD＝∠ADE，所以OA∥DE  ………3分

所以∠OAP＝90°，又因为点A在圆上，所以AE为⊙O的切线． ………4分

（2）设⊙O的半径为x,在Rt△AOP中，

OA2＋AP2＝OP2

x2＋22＝(x＋1)2                       ………5分

解得x＝1.5

所以⊙O的半径为1.5         ………7分

因为OA∥DE，所以△PED∽△PAO

所以＝，＝，解得DE＝ ………9分

【解析】略