Question

如图，⊙O的半径为5cm， AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

   (1)求证：PC是⊙O的切线；（4分）

(2)求线段BC的长度.（4分）

Answer

（1）证明略

（2）5cm

【解析】(1)证明：在⊙O中，∠COB=2∠CAB，OA=OC

         ∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO，∴∠COB=2∠ACO    ————1分

         又∵∠COB=2∠PCB，∴∠PCB=∠ACO

         ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，

         即∠ACO+∠OCB＝90°

         ∴∠PCB+∠OCB＝90°，即∠OCP＝90°        ————2分

         ∴OC⊥CP

         ∴PC是⊙O的切线                          ————1分

(2)【解析】
∵⊙O的半径为5cm， AB是⊙O的直径，∴AB＝10cm， ——1分

       ∵AC=PC，∴∠A＝∠P，

       ∵∠COB＝2∠A，∴∠COB＝2∠P

       又∵∠OCP＝90°，∴∠COB+∠P＝90°，

        ∴∠P＝30°，

∴∠A＝30°，                           —————2分

又∵∠ACB=90°，

∴CB＝AB＝5cm.               —————1分