Question

如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将△CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点)，按顺时针方向旋转180°到△C1DE的位置．

(1)求C1点的坐标；

(2)求经过三点O、A、C1的抛物线的解析式；

(3)如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF

的解析式；

(4)抛物线上是否存在一点M，使得．若存在，请求出点M的坐标；

若不存在，请说明理由．

Answer

（1）C1(3，)

（2）a＝，b＝－

（3）y＝x＋

（4）M1(4，)，M2(－2，)，理由略

【解析】(1)C1(3，)

  (2)∵抛物线过原点O(0，0)，设抛物线解析式为y＝ax2＋bx

把A(2，0)，C`(3，)带入，得 

解得a＝，b＝－

∴抛物线解析式为y＝x2－x

(3)∵∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，∴∠AFB＝30°

又AB＝2    ∴AF＝4    ∴OF＝2       ∴F(－2，0)

     设直线BF的解析式为y＝kx＋b

把B(1，)，F(－2，0)带入，得    解得k＝，b＝

∴直线BF的解析式为y＝x＋

   (4)①当M在x轴上方时，存在M(x，x2－x)

S△AMF：S△OAB＝[×4×(x2－x)]：[×2×4]＝16：3

得x2－2x－8＝0，解得x1＝4，x2＝－2

当x1＝4时，y＝×42－×4＝；

当x1＝－2时，y＝×(－2)2－×(－2)＝

∴M1(4，)，M2(－2，)

②当M在x轴下方时，不存在，设点M(x，x2－x)

  S△AMF：S△OAB＝[－×4×(x2－x)]：[×2×4]＝16：3

得x2－2x＋8＝0，b2－4ac＜0 无解

综上所述，存在点的坐标为M1(4，)，M2(－2，)