Question

已知抛物线y＝－x²＋mx－m＋2．  

（Ⅰ）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求m的值；

（Ⅱ）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值

Answer

（Ⅰ）1

（Ⅱ）-7

【解析】【解析】
(I)设点Ａ（x1，0），B(x2，0)．

则x1 ，x2是方程 x2－mx＋m－2＝0的两根．

∵x1  ＋ x2 ＝m ， x1·x2 =m－2 ＜0 即m＜2；

又AB＝∣x1 － x2∣＝，∴m2－4m＋3=0  ．                                                           

解得：m=1或m=3(舍去) ，

∴m的值为1．

（II）设M(a，b)，则N(－a，－b)．

∵M、N是抛物线上的两点，

∴ 

①＋②得：－2a2－2m＋4＝0．

∴a2＝－m＋2．

∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N．

∴．

这时M、N到y轴的距离均为，

又点C坐标为（0，2－m），而S△M N C = 27 ，

∴2××（2－m）×=27．

∴解得m=－7