Question

(9分)如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，一直角三角尺PQR的直角顶点P在对角线AC上移动，直角边PQ经过点D，另一直角边与射线BC交于点E.

⑴试判断PE与PD的大小关系，并证明你的结论；

⑵连接PB，试证明：△PBE为等腰三角形；

⑶设AP＝x，△PBE的面积为y，

①求出y关于x 函数关系式；

②当点P落在AC的何处时，△PBE的面积最大，此时最大值是多少？

Answer

证明：（1） 过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示.

∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，

△AGP和△PFC都是等腰直角三角形………1分 

∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°

又∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°∴∠1=∠2………2分 

又PF=GD，∠PFE =∠PGD=90°

∴ Rt△EFP≌Rt△PGD （ASA）.           

∴ PE=PD………3分                         

（2）∵AD=AB  ∠PAB=∠PAD=45° AP=AP

∴△APB≌△APD （SAS）………4分   

∴PB=PD

∴PE=PB

∴△PBE为等腰三角形 ………6分   

（3）①∵AP=x

∴,………7分        

∴. 

即()………8分   

②.

∵，

∴当时,………9分     

【解析】略