Question

（14分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D。

（1）求抛物线的解析式；

（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；

（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B，顶点为D，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB₁的面积是△NDD₁面积的2倍，求点N的坐标。

Answer

【解析】
（1）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0）、B（0，2），

∴ 

∴所求抛物线的解析式为y=x2-3x+2。…………………2分

(2)∵A(1,0)、B（0，2），∴OA=1，OB=2。

可得旋转后C点的坐标为（3，1）。

当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2.

可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2）。…………………3分

∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C，

∴平移后的抛物线解析式为y=x2-3x+1。…………………4分

（3）∵点N在y=x2-3x+1上，可设N点坐标为（x0,x20-3x0+1）

将y=x2-3x+1配方得y=(x--,

∴其对称轴为x=…………………5分

1）当0＜x0＜时，如图1，

∵S△NBB1=2S△NDD1

∴

∵x0=1

此时x20-3x0+1=-1

∴N点的坐标为（1，-1）…………………7分

2)当x0＞时，如图2，

同理可得，

∴x0=3

此时x20-3x0+1=1

综上，点N的坐标为（1，-1）或（3，1）…………………9分

【解析】略