Question

如图9，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C（0，）.

（1）求抛物线的对称轴及的值；

（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标；

（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限.

①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；

②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标.

Answer

【解析】
（1）抛物线的对称轴为：直线.…………(1分)

∵抛物线过点C（0，），则，

∴.…………(2分)

（2）如图9，

根据两点之间线段最短可知，当P点在线段AC上就可使的值最小，

又因为P点要在对称轴上，所以P点应为线段AC与对称轴直线的交点.

由（1）可知，抛物线的表达式为：.

令，则，解得：，.

则点A、B的坐标分别是A（，0）、B（，0）.

设直线AC的表达式为，则

   解得：

所以直线AC的表达式为.…………(3分)

当时， ，

所以，此时点P的坐标为（，）. ………… (4分)

（3）①依题意得：

当点M运动到抛物线的顶点时，△AMB的面积最大.

由抛物线表达式可知，抛物线的顶点坐标为（，）.

∴点M的坐标为（，）. …………(5分)

△AMB的最大面积. …………(6分)

②方法一：

如图9，过点M作轴于点H，连结、、.

点M在抛物线上，且在第三象限，设点M的坐标为（，），则

…………(7分)

.

当时，四边形AMCB的面积最大，最大面积为.………(8分)

当时，.

∴四边形AMCB的面积最大时，点M的坐标为（，）. (9分)

方法二：

如图9，过点M作轴于点H，交直线AC于点N，连结、、.

点M在抛物线上，且在第三象限，设点M的坐标为（，），则

点N的坐标为（，），则.

则

…………(7分)

.

当时，四边形AMCB的面积最大，最大面积为.………(8分)

当时，.

∴四边形AMCB的面积最大时，点M的坐标为（，）. (9分)

【解析】略