Question

（本题12分）阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）.我们可行出生种计算三角形面积的新方示：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

解答下列问题:

如图2，抛物线顶点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B.

（1）求抛物线和直线AB的解析式；

（2）求△ABC的铅垂高CD及S_△ABC

（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使，

若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

【解析】
（1）设抛物线的解析式为： 

把A（3，0）代入解析式得 a(3-1)2+4=0.  解得

所以 ……………………………………… 2分

设直线AB的解析式为：

由求得B点的坐标为

把，代入得

解得：

所以   ……………………………………………………………  4分

（2）因为C点坐标为（1，4）所以当x＝１时， y2＝2

所以CD＝4-2＝2  ……… 5分

 …………………………………………………………  6分

（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则

由S△PAB=S△CAB    得：

化简得：   

解得    …………………………………………………………………  10分

将代入中，得.

所以存在符合条件的P点,其坐标为 ………………………………  12分

【解析】略