Question

已知抛物线L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的顶点P的坐标是,与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.

(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式:

    伴随抛物线的关系式_________________

    伴随直线的关系式___________________

(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:

(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;

(4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点x2>x1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件.

Answer

(1)y=-2x2+1,y=-2x+1.

    (2)y=x2-2x-3

    (3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c),

    ∴设它的解析式为y=m(x-0)2+c(m≠0).

    ∴设抛物线过P,

    ∴

    解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax2+c.

    设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0).

    ∵P在此直线上,∴, ∴k=.

    ∴伴随直线关系式为y=x+c

    (4)∵抛物线L与x轴有两交点,∴△1=b2-4ac>0,∴b2<4ac.

∵x2>x1>0,∴x1+ x2= ->0,x1x2=>0,∴ab<0,ac>0.

对于伴随抛物线y=-ax2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax2+c=0,得x=.

∴,∴CD=2.

    又AB=x2-x1=.

由AB=CD,得 =2, 整理得b2=8ac,综合b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8ac,

得a,b,c满足的条件为b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).

【解析】略