Question

（本小题满分7分）

已知：等边三角形ABC

如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．

试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；

（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD

 

Answer

猜想：AP=BP+PC                 ------------------------------1分

（1）证明：延长BP至E，使PE=PC，联结CE

           ∵∠BPC=120°

           ∴∠CPE=60°，又PE=PC

           ∴△CPE为等边三角形

           ∴CP=PE=CE，∠PCE=60°

           ∵△ABC为等边三角形

           ∴AC=BC，∠BCA=60°

           ∴∠ACB=∠PCE，

           ∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP

           即：∠ACP=∠BCE

∴△ACP≌△BCE

           ∴AP=BE-------------------------2分

           ∵BE=BP+PE

∴AP=BP+PC --------------------------------------------- 3分

（2）方法一：

在AD外侧作等边△AB′D     --------------------- 4分

则点P在三角形ADB′外

  ∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD

       在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′， 

∴PA+PD+PC＞CB′      ------------------------------------ 5分

      ∵△AB′D、△ABC是等边三角形

      ∴AC=AB，AB′=AD，

∠BAC=∠DA B′=60°

      ∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD

      即：∠BAD=∠CAB′

      ∴△AB′C≌△ADB  

∴C B′=BD          -------------------------------------- 6分

      ∴PA+PD+PC＞BD    ----------------------------------- 7分

   方法二：延长DP到M使PM=PA，联结AM、BM

      ∵∠APD=120°，

∴△APM是等边三角形， -----------------------------4分

∴AM=AP，∠PAM=60°

  ∴DM=PD+PA          ------------------------------5分

  ∵△ABC是等边三角形

∴AB=AC，∠BAC=60°

∴△AMB≌△APC

∴BM=PC           -------------------------------------------6分

在△BDM中，有DM + BM＞BD， 

∴PA+PD+PC＞BD      ----------------------------------------

【解析】略