Question

如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上， CF⊥OC，且CF=BF.

（1）证明BF是⊙O的切线;

（2）设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小.

Answer

证明：连接OF.

（1） ∵ CF⊥OC,

∴ ∠FCO=90°.

∵ OC=OB，

∴ ∠BCO=∠CBO.

∵ FC=FB，

∴ ∠FCB=∠FBC.         …………………………..1分

∴ ∠BCO+∠FCB =∠CBO+∠FBC.

即 ∠FBO=∠FCO=90°.

∴ OB⊥BF.

∵ OB是⊙O的半径,

∴ BF是⊙O的切线.…………………………..2分

（2）   ∵ ∠FBO=∠FCO=90°，

∴ ∠MCF+∠ACO =90°，∠M+∠A =90°.

∵ OA=OC，

∴ ∠ACO=∠A.

∴ ∠FCM=∠M.   ………………………3分

易证△ACB∽△ABM,

∴ .

∵ AB=4，MC=6，

∴ AC=2.    …………………………………………..4分

∴ AM=8，BM==.

∴cos∠MC F = cosM ==.

∴ ∠MCF=30°.  ……………………………………..5分

【解析】略