Question

．已知平面直角坐标系xOy中, 抛物线与直线的一个公共点为.

（1）求此抛物线和直线的解析式；

（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；

（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积.

Answer

【解析】
（1）由题意，可得及，解得，

所以，抛物线的解析式为，直线的解析式为……………………2分

 （2）设点P的坐标为，可得点Q的坐标为，则

      所以，当时，的长度取得最大值为4.………………………………4分

（3）易知点M的坐标为（1，-1）.过点M作直线OA的平行线交抛物线于点N，如图所示，四边形AOMN为梯形.直线MN可看成是由直线OA向下平移b个单位得到，所以直线MN的方程为.因为点M在直线上，解得b =3,即直线MN的方程为，将其代入，可得

即    

解得  ，

易得  ，

所以，直线MN与抛物线的交点N的坐标为（3,3）.   …………5分

如图，分别过点M、N作y轴的平行线交直线OA于点G、H，

显然四边形MNHG是平行四边形.可得点G（1,2），H（3,6）.

所以，梯形AOMN的面积. ……………………7分

【解析】略