Question

（11分）如图1，已知抛物线经过原点0和x轴上另一个点E,顶点M的坐标是（2，4）; 矩形ABCD的顶点A与点0重合，AD、AB分别在x轴和y轴上，且AD=2 ，AB=3.

（1）求该抛物线所参应的函数表达式；

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2）.

①当t=时，判断点P时否在直线ME上，并说明理由；

②设以P、N、C、D为顶点的图形面积为S，试部S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

Answer

解:(1)所求抛物线的顶点坐标为(2,4),故可设其函数表达式为y=a(x-2)2+4…1分

又抛物线过点(0,0),得0=a(0-2)2+4,解得:a= -1

所以,该抛物线的函数表达式为: y=-(x-2)2+4即y=-x2+4x.            ………………3分

(2)①点P不在直线ME上.                                        ………………4分

由抛物线的对称性可知:点E的坐标为(4,0).

又点M的坐标为(2,4),设直线ME的表达式为y=kx+b,则有

,所以直线ME的表达式为y=-2x+8.         ………………6分

由已知条件可知,当t=时,OA=AP=∴点P的坐标为(,).

∵点P的坐标不满足直线ME的函数表达式y=-2x+8,

∴点P不在直线ME上.                                          ………………7分

②S存在最大值,理由如下:                                            ………8分

由题意可知: OA=AP=t,又∵点A在x轴的非负半轴上,点N在抛物线y=-x2+4x上,

∴点P与点N的坐标分别为(t,t)、(t,-t2+4t), ∴AN=-t2+4t(0≤t≤3),

∴PN=AN-AP=-t2+4t-t=-t2+3t.

(i)当PN=0即t=0或t=3时,以点P、N、C、D为顶点的图形是三角形,此三角形的高是AD,底边为CD, ∴S=.                     ………………9分

(ii)当PN≠0时, 以点P、N、C、D为顶点的图形是四边形.

∴.

所以当t=时,S最大值=.

所以,当t=时,以点P、N、C、D为顶点的图形面积有最大值,其最大值为.………11分

【解析】略