Question

以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B.

（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动.若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点(2,0)，此时PQ恰好是的切线，连接OQ. 求的大小；

（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点(2,0)处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被截得的弦长

Answer

（1）60°

（2）

【解析】（1）【解析】
如图一，连结AQ．

由题意可知：OQ=OA=1.

∵OP=2,

∴A为OP的中点.

∵PQ与相切于点Q,

∴为直角三角形.              …………1分 

∴ .          …………2分

即ΔOAQ为等边三角形.

∴∠QOP=60°．                     …………3分

（2）【解析】
由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q点落在与y轴负半轴的交点的位置（如图二）.设直线PQ与的交点为D，过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点.

                                    …………4分

∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2,

∴QP=.                   …………5分

∵,

∴OC= .                          …………6分

∵OC⊥QD，OQ=1，OC=,

∴QC=.

∴QD=．                         …………7分