Question

如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.

（1）连结，证明：；

（2）如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;

（3）如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆的切线

Answer

（1）证明略

（2）

（3）证明略

【解析】（1）证明：如图一，∵，，F分别是AB，AC，BC边的中点，

∴F∥AC且F =A，F∥AB且F =A，

∴∠BF=∠BAC，∠CF=∠BAC,

∴∠BF=∠CF

∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，

∴F =A=E，F =A=D，       ……………………….2分

∠BD =90°，∠CE =90°，

∴∠BD=∠CE.

∴∠DF=∠FE.

∴.                  ………………………….3分

（2）【解析】
如图二，延长CA至G，使AG=AQ,连接BG、AE.

∵点E是半圆圆弧的中点，

∴AE=CE=3

∵AC为直径

∴∠AEC=90°，

∴∠ACE=∠EAC =45°，AC==，

∵AQ是半圆的切线，

∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，

∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°   

∴AQ=AC=AG=

同理：∠BAP=90°，AB=AP=

∴CG=,∠GAB=∠QAP

∴.                                              ……………………..5分

∴PQ=BG

∵∠ACB=90°，

∴BC==

∴BG==

∴PQ=.                 …………………..6分

（3） 证法一：如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，连接DR、AD、DM.

∵F是BC边的中点，∴.

∴BR=CS，

由（2）已证∠CAQ=90°, AC=AQ,

∴∠2+∠3=90°

∵FM⊥PQ, ∴∠2+∠1=90°，

∴∠1=∠3,

同理：∠2=∠4,

∴，

∴AM=CS，

∴AM=BR，

同（2）可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,

∴∠ADB=∠ARB=90°, ∠ADP=∠AMP=90°

∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，

且∠DBR+∠DAR=180°,

∴∠5=∠8, ∠6=∠7,

∵∠DAM+∠DAR=180°,

∴∠DBR=∠DAM

∴，

∴∠5=∠9,

∴∠RDM=90°，

∴∠5+∠7=90°，

∴∠6+∠8=90°，

∴∠PAB=90°，

∴PA⊥AB,又AB是半圆直径，

∴PA是半圆的切线.                ……………………..8分

证法二：假设PA不是是半圆的切线，如图四，

过点A作半圆的切线交BD的延长线于点，则点异于点P，连结，设直线FA与PQ的垂足为M，直线FA与的交点为.延长AF至N，使得AF=FN，连结BN，CN，由于点F是BC中点，所以四边形ABNC是平行四边形.

易知，，

∵AQ是半圆的切线,

∴∠QAC=90°，同理.

∴.

∴.

由（2）可知，,

∴.

∴.

∵,

∴.

即  .

∴.

即  .

∵ ,

∴ 过点Q有两条不同的直线和同时与AF垂直.

这与在平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾,

因此假设错误.所以PA是是半圆的切线.