Question

已知：如图，P是⊙O直径AB延长线上一点，过P的直线交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E。

⑴ 求证：PC·PD=PO·PE；

⑵ 若DE⊥CF，∠P=15⁰，⊙O的半径为2，求弦CF的长

Answer

（1）证明略

（2）

【解析】(1) 证明：连结DO，

∵直径AB⊥DF，   ∴ AD=AF

              ∴∠DOA=∠DCF

              ∵∠DOP+∠DOA=180O     ，

∠PCE+∠DCF=180O  

      ∴ ∠DOP=∠ECP……（2分）

              ∵∠P=∠P

           ∴ΔPOD∽ΔPCE 

      ∴   即PC·PD=PO·PE……（2分）

（2）【解析】
∵直径AB⊥DF，∴ DH=FH   ∴ ED=EF

        ∴ EH平分∠DEF

        ∵ DE⊥CF  ∴ ∠DEC=∠DEF=90O

        ∴ ∠FEH=45O    ∠CEP=45O

        ∵ ∠DCE=∠P+∠CEP=15O+45O=60O

        ∴ ∠DOH=60O ……（2分）

        在RtΔDOH中，由sin60O=

        ∴ DH=        ∴ DH=

        ∵    ∴

        ∴ ……（2分）

        在RtΔDCF中，由

∴

∴ ……（1分）