Question

把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠B=∠F=30°，斜边AB和EF的长均为4。

（1）当EG⊥AC于点K，GF⊥BC于点H时，如图23-1，求GH:GK的值.

(2)现将三角板EFG由图23-1所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转,旋转角满足条件:

0°<<30°,如图23-2,EG交AC于点K,GF交BC于点H,GH:GK的值是否改变?证明你的结论.

Answer

（1）

（2）证明略

【解析】（1）【解析】
∵GE⊥AC于 K，GF⊥BC于H,

            ∴∠AKG =∠GHB =90°

∵∠ACB =90°

∴GK∥BC……………………………(1分)

∴∠AGK =∠B =30°………………(2分)

∵G与AB的中点O重合

∴AG = GB

∴△AKG≌△GHB……………………(3分)

∴KG = HB……………………………(4分)

在Rt△GHB中，tan∠B =…(5分)

∴……………………………(6分)

(2)GH：GK的值不改变。………………………(7分)

证明：过点G作GP⊥AC于点P，GQ⊥BC于点Q，

∵∠C = 90°

∴四边形PCQG是矩形……………………(8分)

∴∠PGK+∠KGO = 90°

∵∠EGF = 90°

∴∠HGQ+∠KGQ = 90°

∴∠PGK = ∠HGQ ………………………(9分)

∵∠GPK =∠GQH = 90°

∴△PGK∽△QGH…………………………(10分)

∴ 由(1)可得：…… (11分)

∴………………………………(12分)