Question

如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点 B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，△BEF的面积为8，且cos∠BFA＝，求△ACF的面积.

Answer

（1）证明：连接BO．（如图4）     

              ∵ AB＝AD，   

∴ ∠D＝∠ABD．

              ∵ AB＝AO，

    ∴ ∠ABO＝∠AOB．

              又∵ 在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°，

              ∴ ∠OBD＝90°．

∴ BD⊥BO．…………………………………………………………………1分

              ∵ 点B在⊙O上，

              ∴ BD是⊙O的切线 ． ……………………………………………………2分

（2）【解析】
∵ ∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF ，

            ∴ △ACF∽△BEF ．  ………………………………………………………3分

     ∵ AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，

            ∴ ∠ABC＝90°．

∵ 在Rt△BFA中，∠ABF＝90°，cos∠BFA＝，

            ∴ ．………………………………………………………4分

        又∵ ＝8 ，

             ∴ ＝18 ． ……………………………………………………………5分

【解析】略