Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，为直线上一动点，将直线绕点逆时针方向旋转交直线于点；

（1）当点在线段上运动（不与重合）时，求证：OA·BQ=AP·BP；

（2）在（1）成立的条件下，设点的横坐标为，线段的长度为，求出关于的函数解析式，并判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。

（3）直线上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

略

【解析】（1）证明：∵四边形OABC为矩形

∴∠OAP=∠QBP=90°，

∵∠OPQ=90°, ∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP

∴∠BPQ=∠AOP, ∴△AOP∽△BPQ

∴

∴OA·BQ=AP·BP   ----------------------3分

(2)    由（1）知OA·BQ=AP·BP    ∴3×BQ=m(4-m)  ∴BQ=

∴CQ=3-=

即L=    (0＜m＜4)

=

∴当m=2 时，   L（最小）=   -----------------6分

(3)∵∠OPQ=90°,∴要使△POQ为等腰三角形，则PO=PQ .

当点P在线段AB上时，如图    

AOP≌△BPQ  ∴PB=AO=3 

∴AP=4-3=1

∴(1,3)

当点P在线段AB的延长线上时，如图   

此时△QBP≌△PAO 

∴PB=AO=3  ∴AP=4+3=7              

∴(7,3)                                        

当点P在线段AB的反向延长线上时，如图

此时∵PB＞AB＞AO,

∴△PQB不可能与△OPA全等,

即PQ不可能与PO相等,

此时点P不存在.

综上所述，知存在(1,3), (7,3).  ---------------9分