Question

（2011山东烟台，26，14分）

如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=－x+，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）.动点P自A点出发，在AB上匀速运行.动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）.

（1）求出点B、C的坐标；

（2）求s随t变化的函数关系式；

（3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值.

Answer

（1）把y＝4代入y＝－x＋，得x＝1.

 ∴C点的坐标为（1，4）.

当y＝0时，－x＋＝0，

∴x＝4.∴点B坐标为（4，0）.

（2）作CM⊥AB于M，则CM＝4，BM＝3.

∴BC＝＝＝5.

∴sin∠ABC＝＝.

①当0＜t＜4时，作QN⊥OB于N，

则QN＝BQ·sin∠ABC＝t.

∴S＝OP·QN＝（4－t）×t ＝－t2＋t（0＜t＜4）.

②当4＜t≤5时，（如备用图1），

连接QO，QP，作QN⊥OB于N.

同理可得QN＝t.

∴S＝OP·QN＝×（t－4）×t.

＝t2－t（4＜t≤5）.

③当5＜t≤6时，（如备用图2），

连接QO，QP.

S＝×OP×OD＝（t－4）×4.

＝2t－8（5＜t≤6）.

（3）①在0＜t＜4时，

当t＝＝2时，

S最大＝＝.

②在4＜t≤5时，对于抛物线S＝t2－t，当t＝－＝2时，

S最小＝×22－×2＝－.

∴抛物线S＝t2－t的顶点为（2，－）.

∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大.

∴当t＝5时，S最大＝×52－×5＝2.

③在5＜t≤6时，

在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大.

∴当t＝6时，S最大＝2×6－8＝4.

∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4.

【解析】略