Question

已知抛物线的顶点是C (0，a) (a>0，a为常数)，并经过点(2a，2a)，点D（0，2a）为一定点.

(1)求含有常数a的抛物线的解析式；

(2)设点P是抛物线任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，求证：PD = PH；

(3)设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点，若DA=2DB，且S_△ABD = 4，求a的值.

 

Answer

【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=kx2+a                     (1分)

            ∵点D（2a，2a）在抛物线上，

            4a2k+a = 2a     ∴k =                         (3分)

            ∴抛物线的解析式为y= x2+a                  （4分）

       （2）设抛物线上一点P（x，y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，在Rt△GDP中，

            由勾股定理得：PD2=DG2+PG2=(y–2a)2+x2 =y2 – 4ay+4a2+x2    

                                                           (5分) 

           ∵y= x2+a  ∴x2 = 4a ´ (y– a)= 4ay– 4a2     (6分)

           ∴PD 2= y2– 4ay+4a2 +4ay– 4a2= y2 =PH2

           ∴PD = PH 

       （3）过B点BE ⊥ x轴，AF⊥x轴.

            由（2）的结论：BE=DB  AF=DA

            ∵DA=2DB  ∴AF=2BE  ∴AO = 2BO

            ∴B是OA的中点，

            ∴C是OD的中点，

          连结BC

          ∴BC= = = BE = DB                 (9分)

          过B作BR⊥y轴，

          ∵BR⊥CD   ∴CR=DR，OR= a + = ，

          ∴B点的纵坐标是，又点B在抛物线上，

          ∴ = x2+a   ∴x2 =2a2

          ∵x>0      ∴x = a

          ∴B (a， )                          (10分)

           AO = 2OB， ∴S△ABD=S△OBD = 4

         所以，´2a´a= 4

         ∴a2= 4   ∵a>0  ∴a = 2               (12分)

【解析】略