Question

如图抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0．）．且对称抽x=l．

（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；

（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3．若存在，求出点D的坐标；若不存在．说明理由（使用图1）；

（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）．

 

Answer

【解析】
（1）∵抛物线与y轴交于点C（0．-1）．且对称抽x=l．

∴ ，解得： ，

∴抛物线解析式为y= x2- x-1，

令 x2- x-1=0，得：x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），B（3，0），

（2）设在x轴下方的抛物线上存在D（a， ）（0＜a＜3）使四边形ABCD的面积为3．

作DM⊥x轴于M，则S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD，

∴S四边形ABCD= |xAyC|+ （|yD|+|yC|）xM+ （xB-xM）|yD|

= ×1×1+ [-（ a2- a-1）+1]×a+ （3-a）[-（ a2- a-1）]

=- a2+ +2，

∴由- a2+ +2=3，

解得：a 1=1，a 2=2，

∴D的纵坐标为： a2- a-1=- 或-1，

∴点D的坐标为（1， ），（2，-1）；

（3）①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，所以点P的横坐标为-4或4，

当x=-4时，y=7；当x=4时，y= ；

所以此时点P1的坐标为（-4，7），P2的坐标为（4， ）；

②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，线段AB中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q点，过点P作x轴的垂线交于点H，

可证得△PHG≌△QOG，

∴GO=GH，

∵线段AB的中点G的横坐标为1，

∴此时点P横坐标为2，

由此当x=2时，y=-1，

∴这是有符合条件的点P 3（2，-1），

∴所以符合条件的点为：P1的坐标为（-4，7），P2的坐标为（4， ）；P 3（2，-1）．

【解析】略