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在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角∠DOC=α,将△DOC按...

在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角∠DOC=α,将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′(0°<旋转角<90°)连接AC′、BD′,AC′与BD′相交于点M.

(1)当四边形ABCD是矩形时,如图1,请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系,并证明你的猜想;

(2)当四边形ABCD是平行四边形时,如图2,已知AC=BD,请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系,并证明你的猜想;

(3)当四边形ABCD是等腰梯形时,如图3,AD∥BC,此时(1)AC′与BD′的数量关系是否成立?∠AMB与α的大小关系是否成立?不必证明,直接写出结论.

 说明: 6ec8aac122bd4f6e

 

 

 

【解析】 (1)AC′=BD′,∠AMB=α, 证明:在矩形ABCD中,AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD, ∴OA=OC=OB=OD, 又∵OD=OD′,OC=OC′, ∴OB=OD′=OA=OC′, ∵∠D′OD=∠C′OC, ∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC, ∴∠BOD′=∠AOC′, ∴△BOD′≌△AOC′, ∴BD′=AC′, ∴∠OBD′=∠OAC′, 设BD′与OA相交于点N, ∴∠BNO=∠ANM, ∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO, 即∠AMB=∠AOB=∠COD=α, 综上所述,BD′=AC′,∠AMB=α, (2)AC′=kBD′,∠AMB=α, 证明:在平行四边形ABCD中,OB=OD,OA=OC, 又∵OD=OD′,OC=OC′, ∴OB:OA=OD′:C′, ∵∠D′OD=∠C′OC, ∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC, ∴∠BOD′=∠AOC′, ∴△BOD′∽△AOC′, ∴BD′:AC′=OB:OA=BD:AC, ∵AC=kBD, ∴AC′=kBD′, ∵△BOD′∽△AOC′, 设BD′与OA相交于点N, ∴∠BNO=∠ANM, ∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO,即∠AMB=∠AOB=α, 综上所述,AC′=kBD′,∠AMB=α, (3)AC′=BD′成立,∠AMB=α不成立. 【解析】略
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说明: 6ec8aac122bd4f6e

 

 

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说明: 6ec8aac122bd4f6e

 

 

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说明: 6ec8aac122bd4f6e

 

 

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