Question

（本题满分12分）已知二次函数的图象如图.

（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；

（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；

（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.

 

Answer

（本题满分12分）

解: （1）由得  …………1分

∴Ｄ（３，０）…………2分

（2）方法一:

如图1, 设平移后的抛物线的解析式为

   …………3分

则C   OC=

令   即 

得     …………4分

∴A，B

∴………5分

……………………6分

∵

即:

得     (舍去) ……………7分

∴抛物线的解析式为 ……………8分

方法二:

∵          ∴顶点坐标

设抛物线向上平移h个单位,则得到,顶点坐标…………3分

∴平移后的抛物线: ……………………4分

当时, , 得    

∴ A   B……………………5分

∵∠ACB=90°   ∴△AOC∽△COB

∴OA·OB……………………6分

    得 ,…………7分

∴平移后的抛物线: …………8分

（3）方法一:

如图2, 由抛物线的解析式可得

A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M  …………9分

过C、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H,

则  

∴ 

在Rt△COD中,CD==AD   

∴点C在⊙D上 …………………10分

∵

   ……11分

∴

∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM

∴直线CM与⊙D相切  …………12分

方法二:

如图3, 由抛物线的解析式可得

A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M  …………9分

作直线CM,过D作DE⊥CM于E, 过M作MH垂直y轴于H,则, ,  由勾股定理得

∵DM∥OC          

∴∠MCH=∠EMD

∴Rt△CMH∽Rt△DME   …………10分

∴    得   …………11分

由(2)知    ∴⊙D的半径为5 

∴直线CM与⊙D相切   …………12分

【解析】略