Question

（2011内蒙古赤峰，24，12分）如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B，顶点为C，连结CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称。

（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；

（2）求证：四边形ABCD是直角梯形。

Answer

【解析】
（1）∵直线y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点。

当y=0时，x=－3，∴点A的坐标为（－3，0）

当x =0时，y= 3，∴点B的坐标为（0，3）

把A（－3，0）、B（0，3）代入中得：

∴抛物线的解析式为

∵

∴C点的坐标为（-1，4）。

（2）证明：

方法（一）∵A（－3，0）、B（0，3）、C（-1，4）;

∴OA=OB=3，AN=2，CN=4，CM=MB=1.

在Rt△AOB中，；

在Rt△ANC中， ；

在Rt△CMB中，；

∴，∴∠ABC=90°

∵点D、B关于对称轴CN对称，∠BCM=45°；

∴∠DCM=45°，则∠DCB=90°；

∴DC∥AB ；

∵AD≠CB ；

∴四边形ABCD是直角梯形

方法（二）：设直线BC的解析式为y=mx+3；

把C（-1，4）代入，得m=－1；

∴直线BC的解析式为y=－x+3；

当y=0时，x=3，则E点的坐标为（3，0），即OE=3 ；

∵A（－3，0）、B（0，3）；

∴OA=OB=OE=3 。

∵∠BOA=∠BOE =90°

∴∠BAO=∠ABO=∠OEB =∠OBE=45°；

∴∠ABE=90°；

∴∠ABC=90°；

∵点D、B关于对称轴CN对称，∠BCM=45°；

∴∠DCM=45°，则∠DCB=90°；

∴DC∥AB ；

∵AD≠CB ；

∴四边形ABCD是直角梯形

【解析】略