Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与直线y＝mx＋n相交于两点，这两点的坐标分别是（0,）和（m－b，m²－mb＋n），其中a，b，c，m，n为实数,且a，m不为0．

（1）求c的值；

（2）设抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴的两个交点是（x₁，0）和（x₂，0），求x₁x₂的值；

（3）当－1≤x≤1时，设抛物线y＝ax²＋bx＋c上与x轴距离最大的点为P（x_o，y_o ），求这时｜y_o｜的最小值．

Answer

解:

(1)∵（0，）在y＝ax2＋bx＋c上，∴ ＝a×02＋b×0＋c，  ∴ c＝.(1分)

(2)又可得 n＝.

∵ 点（m－b，m2－mb＋n）在y＝ax2＋bx＋c上，

∴ m2－mb＝a（m－b）2＋b（m－b），

∴（a－1）（m－b）2＝0， （2分）

若（m－b）＝0，则（m－b， m2－mb＋n）与（0，）重合，与题意不合．

∴ a＝1．（3分，只要求出a＝1，即评3分）

∴抛物线y＝ax2＋bx＋c，就是y＝x2＋bx．

△＝b2－4ac＝b2－4×（）＞0，（没写出不扣分）

∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标就是关于x的二次方程0＝ax2＋bx＋c的两个实数根，∴由根与系数的关系，得x1x2＝．  （4分）

(3)抛物线y＝x2＋bx的对称轴为x＝，最小值为． （没写出不扣分）

设抛物线y＝x2＋bx在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H，在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h．

①当<－1，即b＞2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，yo），

∴｜H｜＝yo＝＋b＞，    (5分)

在x轴下方与x轴距离最大的点是（－1，yo），

∴｜h｜＝｜yo｜＝｜－b｜＝b－＞， (6分) 

∴｜H｜＞｜h｜．∴这时｜yo｜的最小值大于.    (7分)

② 当－1≤≤0，即0≤b≤2时，

在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，yo），

∴｜H｜＝yo＝＋b≥，当b＝0时等号成立.

在x轴下方与x轴距离最大点的是 （，），

∴｜h｜＝｜｜＝≥，当b＝0时等号成立.

∴这时｜yo｜的最小值等于.    (8分)

③ 当0＜≤1，即－2≤b＜0时,

在x轴上方与x轴距离最大的点是（－1，yo），

∴｜H｜＝yo＝｜1＋（－1）b｜＝｜－b｜＝－b＞

在x轴下方与x轴距离最大的点是 （，），

∴｜h｜＝｜yo｜＝｜｜＝＞.

∴ 这 时 ｜yo｜的 最 小 值 大 于 .   (9分)

④ 当1＜，即b＜－2时，

在x轴上方与x轴距离最大的点是（－1，yo），∴｜H｜＝－b＞,

在x轴下方与x轴距离最大的点是(1，yo)，∴｜h｜＝｜＋b｜＝－（b＋）＞，

∴｜H｜＞｜h｜,∴这时｜yo｜的最小值大于.     (10分)

综上所述，当b＝0，x0＝0时，这时｜yo｜取最小值，为｜yo｜＝.       (11分)

【解析】略