Question

（本小题 10 分）如图，在 Rt△ABC中,∠ACB＝90D是AB 边上的一点，以BD为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F .

( 1 ）求证： BD = BF ;

( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长．

Answer

.证明：（1）连结OE，

∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED

∵⊙O与边 AC 相切于点E，∴OE⊥AE，∴∠OEA=90°

∵∠ACB=90°，∴∠OEA=∠ACB，∴OE∥BC，∴∠F=∠OED

∴∠ODE=∠F

∴BD=BF

（2）过D作DG⊥AC于G，连结BE，

∴∠DGC=∠ECF，DG∥BC

∵BD为直径，∴∠BED=90°

∵BD=BF，∴DE=EF

在△DEG和△FEC中

∵∠DGC=∠ECF，∠DEG=∠FEC，DE=EF

∴△DEG≌△FEC

∴DG=CF

∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC

∴

∴

∴

∴或（舍去）

∴BF=BC+CF=12+4=16

【解析】略