Question

．如图（1）,在直角△ABC中, ∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).

试探究线段EF与EG的数量关系.

(1)    如图（2）,当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是                  

证明:

(2)     如图（3）,当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是                  

证明

(3)    如图（1）,当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是                  

(写出关系式,不必证明)

Answer

（1）图甲：连接DE，

∵AC=mBC，CD⊥AB，当m=1，n=1时

∴AD=BD，∠ACD=45°，

∴CD=AD=AB，

∵AE=nEC，

∴DE=AE=EC=AC，

∴∠EDC=45°，DE⊥AC，

∵∠A=45°，

∴∠A=∠EDG，

∵EF⊥BE，

∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°，

∴∠AEF=∠DEG，

∴△AEF≌△DEG（ASA），

∴EF=EG．

（2）【解析】
EF=EG证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，

∵EM∥CD，

∴△AEM∽△ACD，

∴

即EM=CD，

同理可得，EN=AD，

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴tanA=，

∴，

又∵EM⊥AB，EN⊥CD，

∴∠EMF=∠ENG=90°，

∵EF⊥BE，

∴∠FEM=∠GEN，

∴△EFM∽△EGN，

∴，

即EF=EG；

（3）EF=EG．

【解析】略