Question

(本题14分)如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线经过O、C两点．点A的坐标为(8，o)，点B的坐标为(11．4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C—B相交于点M。当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒()．△MPQ的面积为S．

（1）点C的坐标为___________，直线的解析式为___________．(每空l分，共2分)

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。

（3）试求题(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值。

（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线相交于点N。试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

Answer

（1）(3,4)；

（2）【解析】
根据题意，得OP=t，AQ=2t．分三种情况讨论：

 ①当时，如图l，M点的坐标是（）．

过点C作CD⊥x轴于D，过点Q作QE⊥ x轴于E，可得△AEO∽△ODC

∴，∴，∴，

∴Q点的坐标是（），∴PE=

∴S=

②当时，如图2，过点q作QF⊥x轴于F，

∵，∴OF=

∴Q点的坐标是（），∴PF=

∴S=

③当点Q与点M相遇时，，解得。

③当时，如图3，MQ=，MP=4.

S=

①②③中三个自变量t的取值稹围．……………………(8分)

评分说明：①、②中每求对l个解析式得2分，③中求对解析式得l分．①②③中三个自变量t的取值范围全对才可得1分．

（3）【解析】
① 当时，

∵，抛物线开口向上，对称轴为直线，

∴ 当时，S随t的增大而增大。

∴  当时，S有最大值，最大值为．

②当时，。∵，抛物线开口向下．

∴当时，S有最大值，最大值为．

③当时，，∵．∴S随t的增大而减小．

又∵当时，S=14．当时，S=0．∴．

综上所述，当时，S有最大值，最大值为。

评分说明：①②③各1分，结论1分；若②中S与t的值仅有一个计算错误，导致最终结论中相应的S或t有误，则②与结论不连续扣分，只扣1分；③中考生只要答出S随t的增大而减小即可得分．   

（4）【解析】
当时，△QMN为等腰三角形．

【解析】略