Question

（2011山东济南，28，9分）如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．

（1）求证：△ACE≌△DCB；

（2）请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；

（3）求证：∠APC=∠BPC．

Answer

（1）证明：∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

∴∠ACE=∠DCB，

又∵CA=CD，CE=CB，

∴△ACE≌△DCB．

（2）△AMC∽△DMP．

理由：∵△ACE≌△DCB，

∴∠CAE=∠CDB，

又∵∠AMC=∠DMP，

∴△AMC∽△DMP．

（3）∵△AMC∽△DMP，

∴MA：MD=MC：MP．

又∵∠DMA=∠PMC，

∴△AMD∽△CMP，

∴∠ADC=∠APC．

同理∠BEC=∠BPC．

∵CA=CD，CB=CE，

∴∠ADC=（180°﹣∠ACD），

∠BEC=（180°﹣∠BCE）．

∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ADC=∠BEC，

∴∠APC=∠BPC．

【解析】略