Question

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线交于M（x₁，y₁）

和N（x₂，y₂）两点（其中x₁＜0，x₂＜0）．

⑴求b的值．

⑵求x₁•x₂的值

⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M₁、N₁，判断△M₁FN₁的形状，并证明你的结论．

⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

Answer

（1）将F（0，1）代入y=kx＋b即可得b值。b=1

⑵显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=－4

⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：

由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，

则F1M1•F1N1=－x1•x2=4，而F F1=2，所以F1M1•F1N1=F1F2，

另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，

故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．

⑷存在，该直线为y=－1．理由如下：

直线y=－1即为直线M1N1．

如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为,计算知NN1=，

NF=，得NN1=NF

同理MM1=MF．

那么MN=MM1＋NN1，作梯形MM1N1N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=（MM1

＋NN1）=MN，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切．

【解析】略