Question

在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E．

（1）求证：AE•AO=BF•BO；

（2）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；

（3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF的长：若不存在，请说明理由．

Answer

证明：（1）∵E，F点都在反比例函数图象上，

∴根据反比例函数的性质得出，，

∴AE•AO=BF•BO；

（2）∵点E的坐标为（2，4），

∴AE•AO=BF•BO=8，

∵BO=6，∴BF=，

∴F（6，），

分别代入二次函数解析式得：，

解得：，

∴；

（3）如果设折叠之后C点在OB上的对称点为C'，连接C'E、C'F，过E作EG垂直于OB于点G，则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理有以下几个关系可以考虑：

设BC'=a，BF=b，则C'F=CF=．

∴点的坐标F（6，b），E（1.5b，4）．

EC'=EC=，

∴在Rt△C'BF中， ①

∵Rt△EGC'与∽Rt△C'BF，

∴（）：（）=4：a=（）：b ②，

解得：，

∴F点的坐标为（6，）．

∴FO= ．

【解析】略