Question

（本小题10分） 在平面直角坐标系中，将直线l：沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线：沿x轴平移，得到一条新抛物线与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F．

（Ⅰ）求直线AB的解析式；

（Ⅱ）若线段DF∥x轴，求抛物线的解析式；

（Ⅲ）在（2）的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，一条直线m（m不过△AFH的顶点）与AF交于点M，与FH交于点N，如果直线m既垂直于直线AB又平分△AFH的面积，求直线m的解析式．

Answer

【解析】
（1）设直线AB的解析式为．

将直线与x轴、y轴交点分别为（－2，0），（0，），

沿x轴翻折，则直线、直线AB

与x轴交于同一点（－2,0），

∴A（－2,0）．

与y轴的交点（0，）与点B关于x轴对称，

∴B（0，），

∴

解得，．

∴直线AB的解析式为 ．·························································· 3分

（2）设平移后的抛物线的顶点为P（h，0），             

则抛物线解析式为：=．     

∴D（0，）．   ………4分

∵DF∥x轴，

∴点F（2h，），   ………5分

又点F在直线AB上，

∴．     ………6分

解得 ，．

∴抛物线的解析式为或．………7分

（3）过M作MT⊥FH于T，

∴Rt△MTF∽Rt△AGF．

∴．

设FT=3k，TM=4k，FM=5k．

则FN=－FM=16－5k．……………8分

∴．

∵=48，

又．

∴．

解得或（舍去）．

∴FM=6，FT=，MT=，GN=4，TG=．

∴M（，）、N（6，－4）．

∴直线MN的解析式为：．······················································ 10分

【解析】略