Question

（12分）如图，面积为8的矩形ABOC的边OB、OC分别在轴、轴的正半

轴上，点A在双曲线的图象上，且AC=2．

（1）求值；

（2）将矩形ABOC以B旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形FBDE，双曲线交DE于M点，交EF于N点，求△MEN的面积．

(3)在双曲线上是否存在一点P，使得直线PN与直线BC平行？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）∵矩形ABOC的面积为8，且AC=2

∴AB=4…………………………………………………1分

∵点 A在第一象限

∴A（2，4）……………………………………………2分

∵顶点A在双曲线的图象上，

将A点代入双曲线函数中，得：即；…………3分

（2）∵矩形ABOC以B为旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形BDEF

∴点N、E纵坐标为2，点M、E横坐标为6………4分

∴将代入中，得，……………………5分

将代入中，则………………………6分

∴M（6，），E（6，2），N（4， 2），

∴EM=，EN= 2…………………………………………7分

∴．………………………………8分

（3）设直线BC的表达式为（），

∵B（2，0）、C(0,4)

∴  得

∴直线BC的表达式为………………………………9分

若直线，则可设直线PN为

把N（4，2）代入，得

∴直线PN为……………………………………………10分

由  …………………………………………………11分

得  

∴P点的坐标为（1，8）……………………………………………12分

【解析】略