Question

如图，已知∠MON＝90º，等边△ABC的一个顶点A是射线OM上的一定点，顶点B与点O重合，顶点C在∠MON内部.

（1）当顶点B在射线ON上移动到B₁时，连结AB₁，请在∠MON内部作出以AB₁为边的等边三角形AB₁C₁（保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）设AB₁与OC交于点Q，AC的延长线与B₁C₁交于点D.求证：

（3）连结CC₁，试猜想∠ACC₁为多少度？并证明你的猜想.

 

Answer

【解析】
（1）如图所示：

（2）证明：∵△AOC与△AB1C1是等边三角形，

∴∠ACB＝∠AB1D＝60º.

又∵∠CAQ＝∠B1AD，∴△ACQ∽△AB1D；

∴ =

即AC·AD=AQ·AB1.……………………4分

（3）猜想∠ACC1＝90º.……………………5分

证明：∵△AOC和△AB1C1为正三角形，

AO＝AC，AB1＝AC1，

∴∠OAC＝∠C1AB1，

∴∠OAC－∠CAQ＝∠C1AB1－∠CAQ，

∴∠OAB1＝∠CAC1.

∴△AO B1 ≌ △AC C1.

∴∠ACC1＝∠AOB1＝90º.……………………9分

【解析】略