Question

（11·大连）（本题12分）在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB

＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．

（1）当AB＝AC时，（如图13），

① ∠EBF＝_______°；

② 探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；

（2）当AB＝kAC时（如图14），求的值（用含k的式子表示）．

  

Answer

【解析】
（1）①22.5°…………………………2分

证明：如图1，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H

则∠GDB＝∠C   ∠BHD＝∠A＝90°＝∠GHB

又∵DE＝DE，∠DEB＝∠DEG＝90°

∴△DEB≌△DEG

∵AB＝AC   ∠A＝90°

∴∠ABC＝∠C＝∠GDB

∴HB＝HD

∵∠DEB＝∠BHD＝90°    ∠BFE＝∠DFH

∴∠EBF＝∠HDF

∴△GBH≌△FDH

∴GB＝FD…………………………6分

（2）如图1，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H

又∵DG∥CA

∴△BHD∽△BAC

第二种解法：

【解析】
（1）①∵AB＝AC∠A＝90°

∴∠ABC＝∠C＝45°

∵∠EDB＝ ∠C

∴∠EDB＝22.5°

∵BE⊥DE

∴∠EBD＝67.5°

∴∠EBF＝67.5°－45°＝22.5°

②在△BEF和△DEB中

∵∠E＝∠E＝90°

∠EBF＝∠EDB＝22.5°

∴△BEF∽△DEB

如图：BG平分∠ABC，

∴BG＝GD△BEG是等腰直角三角形

设EF＝x，BE＝y，

则：BG＝GD＝ y

FD＝ y＋y－x

∵△BEF∽△DEB

∴ ＝

即： ＝

得：x＝（ －1）y

∴FD＝ y＋y－（ －1）y＝2y

∴FD＝2BE．

（2）如图：作∠ACB的平分线CG，交AB于点G，

∵AB＝kAC

∴设AC＝b，AB＝kb，BC＝ b

利用角平分线的性质有：＝

即： ＝

得：AG＝

∵∠EDB＝ ∠ACB

∴tan∠EDB＝tan∠ACG＝

∵∠EDB＝ ∠ACB

∠ABC＝90°－∠ACB

∴∠EBF＝90°－∠ABC－∠EDB＝ ∠ACB

∴△BEF∽△DEB

∴EF＝ BE

ED＝ BE＝EF＋FD

∴FD＝ BE－ BE＝ BE．

∴ ＝ ．

【解析】略