Question

(10分)如图1，O为正方形ABCD的中心，

分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，

OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针

旋转角得到△E₁OF₁(如图2)．

(1)探究AE₁与BF₁的数量关系，并给予证明；

(2)当＝30°时，求证：△AOE₁为直角三角形．

Answer

【解析】
(1)AE1＝BF1，证明如下：

               ∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD，∴OE＝OF 

               ∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转角得到，∴OE1＝OF1。

               ∵ ∠AOB＝∠EOF＝900， ∴ ∠E1OA＝900－∠F1OA＝∠F1OB

                                       OE1＝OF1

               在△E1OA和△F1OB中，  ∠E1OA＝∠F1OB，∴△E1OA≌△F1OB （SAS）

                                       OA＝OB                      

               ∴ AE1＝BF1。

            (2)取OE1中点G，连接AG。

           ∵∠AOD＝900，＝30° ， ∴ ∠E1OA＝900－＝60°。

           ∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°。

           ∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°。∴ ∠E1AO＝90°。

       ∴△AOE1为直角三角形。

【解析】略