Question

（11·台州）(14分)已知抛物线y＝a(x－m)²＋n与y轴交于点A，它的顶点为

点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直

线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．

(1)如图1，求抛物线y＝(x－2)²＋1的伴随直线的解析式．

(2)如图2，若抛物线y＝a(x－m)²＋n(m＞0)的伴随直线是y＝x－3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式．

(3)如图3，若抛物线y＝a(x－m)²＋n的伴随直线是y＝－2x＋b(b＞0)，且伴随四边形ABCD是矩形．

①用含b的代数式表示m、n的值；

②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标(用含b的代数式表示)，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由已知得B (2，1)，A (0，5)．                  ……………………1分

设所求直线的解析式为y＝kx＋b，      ……………………1分

，

∴所求直线的解析式为y＝－2x＋5    ……………………1分

（2）如图，作BE⊥AC于点E，由题意得四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为

(0，－3)，点C的坐标为 (0，3)                    ……………………1分

可得AC＝6                                     ……………………1分

∵□ABCD的面积为12，

∵m＞0，即顶点B有y轴的右侧，且在直线y＝x－3上，

∴顶点B的坐标为B (2，－1)                     ……………………1分

又抛物线经过点A (0，－3)

（3）①方法一：如图，作BE⊥x轴于点E

由已知得：A的坐标为 (0，b)，C的坐标为 (0，－b)．

∵顶点B (m，n)在直线y＝－2x＋b上，

∴n＝－2m＋b，即点B的坐标为(m，－2m＋b)     ……………………1分

在矩形ABCD中，OC＝OB，

OC2＝OB2

即b2＝m2＋(－2m＋b) 2

∴5m2－4mb＝0

∴m (5m－4b)＝0

方法二：如图，作BE⊥x轴于点E

类似方法一可得：A的坐标为 (0，b)，C的坐标为 (0，－b)．

∵顶点B (m，n)在直线y＝－2x＋b上，

∴n＝－2m＋b，即点B的坐标为(m，－2m＋b)     ……………………1分

∴AE＝b－(－2m＋b)＝2m

CE＝－2m＋b－(－b)＝2b－2m，BE＝m，

∵AB⊥BC于点B，

∴△ABC∽△AEB，

BE2＝AE·CE，即m2＝2m(2b－2m)，

（只写“存在”的给1分）

【解析】略