Question

（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数

y＝（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、

B．

（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；

（2）求△AOB的面积；

（3）Q是反比例函数y＝（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO

 半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB．

 

Answer

【解析】
（1）点P在线段AB上，理由如下：

∵点O在⊙P上，且∠AOB＝90°

∴AB是⊙P的直径

∴点P在线段AB上．

（2）过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴，由题意可知PP1、PP2是△AOB的中位线，故

S△AOB＝OA×OB＝×2 PP1×PP2

∵P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的任意一点

∴S△AOB＝OA×OB＝×2 PP1×2PP2＝2 PP1×PP2＝12．

（3）如图，连接MN，则MN过点Q，且S△MON＝S△AOB＝12．

∴OA·OB＝OM·ON

∴

∵∠AON＝∠MOB

∴△AON∽△MOB

∴∠OAN＝∠OMB

∴AN∥MB．

【解析】略