Question

如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O 上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）求证：AQ•PQ=OQ•BQ；

（3）设∠AOQ=α，若cosα= ，OQ=15，求AB的长．

Answer

【解析】
（1）证明：连接OP，与AB交与点C．

∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，

∴△OAP≌△OBP（SSS），

∴∠OBP=∠OAP，

∵PA是⊙O的切线，A是切点，

∴∠OAP=90°，

∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切线；

（2）∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，

∴△QAO∽△QBP，

∴ ，即AQ•PQ=OQ•BQ；

（3）在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=，

∴OA=12，AQ=9，

∴QB=27；

∵ = ，

∴PQ=45，即PA=36，

∴OP=；

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴OP⊥AB，AC=BC，

∴PA•OA=OP•AC，即36×12=•AC，

∴AC=，故AB=．

【解析】略