Question

如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（），B（），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线经过点D、M、N．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．

Answer

【解析】
（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC与x轴的交点，∴M（0，2），

∵DM∥ON，D（3，0），∴N（-3，2），则，解得，∴；

（2）连接AC交y轴与G，∵M是BC的中点，∴AO=BM=MC，AB=BC=2，∴AG=GC，即G（0，1），

∵∠ABC=90°，∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，

∴点P为直线BG与抛物线的交点，

设直线BG的解析式为，则，解得，∴，

∴，解得，，

∴点P（）或P（），

（3）∵，∴对称轴，

令，解得，，∴E（，0），

故E、D关于直线对称，∴QE=QD，∴|QE-QC|=|QD-QC|，

要使|QE-QC|最大，则延长DC与相交于点Q，即点Q为直线DC与直线的交点，

由于M为BC的中点，∴C（1，2），设直线CD的解析式为y=kx+b，

则，解得，∴，

当时，，

故当Q在（）的位置时，|QE-QC|最大，

过点C作CF⊥x轴，垂足为F，则CD=．

【解析】略